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I - baraja espanola y su significado
I. Dependencia aleatoria
1. Representación de nubes de puntos
Variables estadísticas bidimensionales son las que se obtienen de observar simultáneamente dos aspectos de un mismo fenómeno o población.
Ejemplo: Si consideramos los equipos de fútbol de primera división, podemos estudiar la relación entre su clasificación en la tabla y los goles encajados mediante una variable estadística bidimensional, donde
la población sería los equipos de primera división.
Los pares de valores que se obtienen para cada
equipo, u otra población que estemos considerando,
se pueden estudiar a través de una distribución
bidimensional y representarlos gráficamente en un
sistema de ejes cartesianos.
1 A un grupo de 10 alumnos de 4º de ESO se les ha preguntado por su altura y la de su padre. Las respuestas, en cm, están reflejadas en la siguiente tabla:
|Altura del padre |168 |170 |172 |173 |175 |176 |
|Importe (PTA) |80 |160 |240 |320 |400 |480 |
Obtén el correspondiente diagrama de dispersión y traza la nube de puntos.
4 La tabla representa la clasificación mundial, según su riqueza, de 8 países y la correspondiente esperanza de vida al nacer de sus habitantes, expresada en años.
|Clasificación |1 |20 |55 |
|Con gafas |5 |4 |9 |
|Sin gafas |9 |12 |21 |
|Total |14 |16 |30 |
Elegimos una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Lleve gafas. c) Sea chico sabiendo que tiene gafas.
b) Sea una chica sin gafas. d) No lleve gafas sabiendo que es una chica.
69 Se saca al azar una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea el tres de oros.
b) Sea el tres de oros sabiendo que la carta extraída es un oro.
c) Sea el tres de oros sabiendo que la carta extraída es un tres.
70 ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo hijo de una familia sea varón, sabiendo que el primero ha sido una chica?
71 En una clase de 4º de ESO con 25 alumnos, hay 13 chicos y 12 chicas. El número de alumnos que cursan Matemáticas A o B, dependiendo del sexo, se distribuye según esta tabla:
| |Chicos |Chicas |Total |
|Matemáticas A |6 |4 |10 |
|Matemáticas B |7 |8 |15 |
|Total |13 |12 |25 |
Elegimos una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea chica. c) Sea un chico y curse Matemáticas B.
b) Curse Matemáticas A. d) Sea chica sabiendo que cursa Matemáticas A.
72 Lanzamos un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4, sabiendo que ha salido un número par?
12. Probabilidad de la intersección
· Si A y B son sucesos independientes p(A ( B) = p(A)·p(B)
· Si A y B son sucesos dependientes p(A ( B) = p(A)·p(B/A)
Ejemplo: Extraemos sucesivamente y sin devolución dos cartas de una baraja española y queremos saber cuál es la probabilidad del suceso«sacar dos ases».
Descomponemos el suceso en dos: A = «Sacar as en la primera extracción» y B = «Sacar as en la segunda extracción». Debemos calcular p(A ( B).
A y B no son independientes puesto que al no devolver la primera carta al mazo, la probabilidad de sacar un as en la segunda extracción es distinta si en la primera extracción salió un as (hay 3 casos favorables entre 39 posibles) o no salió un as (hay 4 casos favorables entre 39 posibles).
p(A ( B) = p(A) · p(B/A) = [pic]·[pic] = [pic]
73 Se lanza una moneda tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 cruces?
74 En una urna hay 5 bolas blancas y 7 negras. Si se extraen dos bolas, una a continuación de la otra, calcula cuál es la probabilidad de que las dos sean blancas:
a) Si devolvemos a la urna la primera bola antes de extraer la segunda.
b) Si no hay devolución.
75 En una familia con dos hijos, calcula la probabilidad de que:
a) El primero sea chico y la segunda chica.
b) Uno de los hijos sea chico y el otro chica.
76 La probabilidad de que una persona fume es 0,4. Elegidas 3 personas al azar ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas fume?
77 En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Si extraemos sucesivamente tres bolas de la urna, halla la probabilidad de que salgan, por este orden, el 1, el 2 y el 3, si:
a) Hay devolución después de cada extracción.
b) No hay devolución.
78 La probabilidad de que Juan enceste un tiro a canasta es 0,7. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste tres tiros seguidos a canasta?
79 Se extrae una carta de una baraja española y se guarda y a continuación se extrae una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea el as de oros y la segunda sea otro oro?
80 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado 5 veces nos salga el 6 todas las veces que tiramos?
13. Probabilidad total
Si un suceso se puede obtener por varios caminos, es útil mostrar mediante un esquema o un diagrama en árbol las diferentes posibilidades, teniendo en cuenta que la probabilidad de que dicho suceso ocurra es la suma de las probabilidades de todos los caminos por los que puede suceder.
Un gato persigue a un ratón; en un momento determinado el camino se divide en 3 caminos, los tres con iguales posibilidades de ser tomados por el ratón. Si elige el primero se salva pues hay un momento en que el camino se estrecha de forma que cabe el ratón pero no el gato. Si elige el segundo, la probabilidad de que se salve es 0,6 y el tercer camino es un callejón sin salida. Calcular la probabilidad de que el ratón escape de las garras del gato.
Por tanto, la probabilidad de que se salve es: p(A) + p(B) + p(C) = [pic]
81 Ana guarda en el cajón de su armario 6 camisetas: 2 blancas, 3 negras y 1 azul. En otro cajón tiene 5 pantalones: 2 negros y 3 azules. Si abre un cajón y coge una camiseta sin mirarla y luego abre el cajón de los pantalones y elige uno, también sin mirarlo, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sean del mismo color?
82 En una urna hay 3 bolas rojas y 4 verdes, en otra urna hay 3 rojas y 2 verdes. Se toma al azar una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color?
83 Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos dados salgan dos números pares o dos impares?
84 En una clase hay 12 chicos y 18 chicas, se eligen consecutivamente dos personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo sexo?
85 En una bolsa hay 5 refrescos de limón, 6 de naranja y 4 de cola. Sin mirar una persona coge un refresco y a continuación, otra persona coge otro refresco. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hayan cogido sus refrescos del mismo sabor?
86 Se extraen sucesivamente y sin devolución dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo palo?
14. Probabilidad experimental
A veces no es posible asignar a un suceso una probabilidad teórica para poder aplicar la regla de Laplace y hay que recurrir a la experimentación.
Se repite el suceso muchas veces y se le asigna como probabilidad el cociente entre los casos que ha sucedido y los casos totales de que consta el experimento.
Ejemplo: Así es posible determinar si una moneda está trucada, en qué porcentaje una máquina fabrica piezas defectuosas o, incluso, si es cierto que cuando se cae una tostada siempre lo hace con la parte de la mantequilla hacia abajo.
87 Una empresa compra una máquina de hacer cerraduras. Para sus márgenes comerciales es aceptable que salgan un 2 % de cerraduras defectuosas. Después de un mes, en la empresa comprueban que de 4 000 cerraduras fabricadas, 56 han salido defectuosas ¿Deben cambiar la máquina?
88 La probabilidad de un jugador de un equipo de fútbol de acertar un penalti es del 0,7. Otro jugador ha tirado en su vida profesional 479 penaltis y ha me-tido gol en 350 ocasiones. ¿A cuál de los dos elegirías para lanzar un penalti?
89 En un hospital se han aplicado dos tratamientos a una serie de personas para tratar cierta enfermedad. Los resultados están reflejados en la tabla. ¿Cuál de los dos tratamientos es más efectivo?
| |Pacientes tratados |Curados |
|Tratamiento A |496 |321 |
|Tratamiento B |629 |402 |
90 Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de salir cara es 0,4. ¿Cuántas caras cabe esperar que se obtengan al lanzar la moneda 300 veces?
91 La probabilidad de que las bombillas de una determinada marca sean defectuosas es del 0,02. Si una empresa necesita 1 500 bombillas, ¿cuántas debe encargar teniendo en cuenta que ha de desechar las defectuosas?
92 Si al menos el 18 % de una población sufre determinada enfermedad, las autoridades sanitarias recomiendan la vacunación de toda la población. En caso contrario es preferible no vacunar a la gente por los efectos secundarios que tiene la vacuna. En Orejilla de Abajo, localidad con 16 300 habitantes, 2 764 personas han contraído esa enfermedad. ¿Se debe vacunar a todos sus habitantes?
93 En un país A, hay 5 465 837 vehículos en circulación y el pasado año se produjeron 84 237 accidentes. En otro país B, hay 4 839 345 vehículos y se produjeron, ese mismo año, 75 865 accidentes. ¿Dónde es más segura la conducción, en el país A o en el B?
94 La probabilidad de sufrir un accidente en las carreteras de un país C es del 1,25 %. ¿Dónde es más segura la conducción, en el país A, en el B, del problema anterior o en el país C?
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Lengua elegida
Turno
Mañana
Mañana
Mañana
Mañana
Tarde
Tarde
Tarde
Tarde
Inglés
Francés
Alemán
Italiano
El cambio de orden
el los elementos
¿Influye en el resultado?
¿Se toman todos
los elementos?
¿Se pueden repetir?
PERMUTACIONES
COMBINACIONES
VARIACIONES
CON REPETICIÓN
VARIACIONES
SiN REPETICIÓN
Pn = n·(n - 1)·.....·2·1 = n!
VRm,n = mn
Vm,n = m·(m – 1)·....·(m – n + 1)
Cm,n = Vm,n/Pn
Sí
Sí
Sí
No
No
No
A
B
C
R
G
p(A) = 1/3 · 1 = 1/3
p(B) = 1/3 · 0,6 = 0,2
p(C) = 1/3 · 0 = 0
X
Y
Clasif.
Goles encaj.
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X
Y
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
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